stefanus ais: Contoh Soal Integral Parsial

Soal-soal integral terkadang ditanyakan dalam bentuk yang tidak sederhana, salah satunya adalah bentuk yang terdiri dari perkalian beberapa fungsi. Untuk menyelesaikan soal tersebut, bisa menggunakan cara integral parsial.

Rumus integral parsial adalah

$\int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u$

dimana kita perlu memilih salah satu fungsi pada soal sebagai u dan fungsi sisanya sebagai dv.

Saat mengerjakan soal integral parsial, kita perlu memilih fungsi u yang tepat dengan syarat saat u diturunkan, hasil turunannya akan lebih sederhana daripada u sendiri. Sebagai pedoman umum, gunakan urutan dibawah ini sebagai prioritas permisalan :

$u = \ln x$
$u = e^{n x}$

$\int x \sin 2x \: \mathrm{d}x = \dots$

Pertama pilih dulu fungsi mana yang ingin dijadikan u. Secara umum, pedomannya adalah memilih fungsi yang jika diturunkan hasilnya lebih sederhana. Untuk kasus ini, pilihlah

$\begin{align*} u &= x \\ \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \end{align*}$

Karena memilih berarti $\mathrm{d}v = \sin 2x \: \mathrm{d}x$

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ \int \: \mathrm{d}v &= \int \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= - \frac{1}{2} \cos 2x \end{align*}$

Lalu masukkan persamaan di atas ke rumus integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int x \sin 2x \: \mathrm{d}x &= x \cdot - \frac{1}{2} \cos 2x - \int - \frac{1}{2} \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C \\ &= - \frac{1}{2}x \cos 2x + \frac{1}{4} \sin 2x + C \\ \end{align*}$
$\int x \sqrt{x+1} \: \mathrm{d}x = \dots$

Ada dua kemungkinan untuk memisalkan u, yaitu atau $u = \sqrt{x+1}$ . Tetapi kita memilih karena turunannya lebih sederhana dibanding $u = \sqrt{x+1}$ .

Jadi misalkan :

$\begin{align*} u &= x \\ \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \end{align*}$

Lalu

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \sqrt{x+1} \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \sqrt{x+1} \: \mathrm{d}x \\ v &= \int (x+1)^{\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} \end{align*}$

Lakukan substitusi u dan v

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int x \sqrt{x+1} \: \mathrm{d}x &= x \left[\frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} \right] - \int \frac{2}{3} (x+1)^{\frac{3}{2}} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{3}x (x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \int (x+1)^{\frac{3}{2}} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{2}{3}x (x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{5} (x+1)^{\frac{5}{2}} + C \\ &= \frac{2}{3}x (x+1)^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{15} (x+1)^{\frac{5}{2}} + C \end{align*}$
$\int x^2 \ln 4x \: \mathrm{d}x = \dots$

Kita dapat memilih atau $u = \ln 4x$ , tetapi mengingat pedoman permisalan fungsi u yang dijelaskan di atas, maka kita memilih $u = \ln 4x$ sehingga $\mathrm{d}v = x^2 \: \mathrm{d}x$

Jadi lakukan permisalan :

$\begin{align*} u &= \ln 4x \\ \mathrm{d}u &= \frac{1}{x} \: \mathrm{d}x \end{align*}$

Lalu :

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= x^2 \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int x^2 \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{3} x^3 \end{align*}$

Lakukan substitusi

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int \ln 4x \: x^2 \: \mathrm{d}x &= \ln 4x \cdot \frac{1}{3} x^3 - \int \frac{1}{3}x^3 \: \frac{1}{x} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3} x^3 \ln 4x - \frac{1}{3} \int x^2 \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3} x^3 \ln 4x - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}x^3 + C \\ &= \frac{1}{3} x^3 \ln 4x - \frac{1}{9}x^3 + C \\ \end{align*}$
$\int x^2 e^{3x} \: \mathrm{d}x = \dots$

Melihat soal diatas, ada 2 fungsi yang bisa dijadikan u. Lalu dengan mempertimbangkan prioritas permisalan, kita memilih dan $\mathrm{d}v = e^{3x} \: \mathrm{d}x$

$\begin{align*} u &= x^2 \\ \mathrm{d}u &= 2x \: \mathrm{d}x \end{align*}$

Lalu

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{3} e^{3x} \end{align*}$

Lakukan substitusi integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int x^2 \: e^{3x} \: \mathrm{d}x &= x^2 \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2x \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \int 2x \cdot e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$

Bentuk $\int 2x \cdot e^{3x} \: \mathrm{d}x$ menyebabkan kita harus sekali lagi melakukan metode integral parsial. Jadi lakukan permisalan :

$\begin{align*} u &= 2x \\ \mathrm{d}u &= 2 \: \mathrm{d}x \end{align*}$

Dan sama seperti sebelumnya

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{3} e^{3x} \end{align*}$

Lakukan substitusi sekali lagi melanjutkan yang tadi

$\begin{align*} \int x^2 \: e^{3x} \: \mathrm{d}x &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \int 2x \cdot e^{3x} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \left[2x \cdot \frac{1}{3} e^{3x} - \int \frac{1}{3} e^{3x} \cdot 2 \: \mathrm{d}x \right]\\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \left[\frac{2}{3}x e^{3x} - \frac{2}{3} \int e^{3x} \: \mathrm{d}x \right] \\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{1}{3} \left[\frac{2}{3}x e^{3x} - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} e^{3x} + C \right] \\ &= \frac{1}{3}x^2 e^{3x} - \frac{2}{9}x e^{3x} + \frac{2}{27} e^{3x} + C \end{align*}$
$\int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = \dots$

Berdasarkan pedoman permisalan, lakukan permisalan dan $\mathrm{d}v = \sin 2x \: \mathrm{d}x$

$\begin{align*} u &= e^x \\ \mathrm{d}u &= e^x \: \mathrm{d}x \end{align*}$

Lalu :

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= -\frac{1}{2} \cos 2x \end{align*}$

Lakukan substitusi menggunakan integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x &= e^x (-\frac{1}{2} \cos 2x) - \int -\frac{1}{2} \cos 2x \: e^x \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{2} \int \cos 2x \: e^x \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{2} \int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$

Lakukan proses integral parsial sekali lagi pada persamaan $\int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x$ , kali ini dengan memilih lagi, dengan $\mathrm{d}v = \cos 2x \: \mathrm{d}x$ . Karena persamaan u sama, langsung saja ke persamaan dv.

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{2} \sin 2x \end{align*}$

Substitusi untuk $\int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x$

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x &= e^x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \: e^x \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{2} e^x \sin 2x - \frac{1}{2} \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x + C\\ \end{align*}$

Tulis lagi persamaan semula, dan lakukan substitusi

$\begin{align*} & \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{2} {\color{blue} \int e^x \cos 2x \: \mathrm{d}x} + C \\ & \int e^x \sin 2x \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{2} \left[{\color{blue} \frac{1}{2} e^x \sin 2x - \frac{1}{2} \int e^x \sin 2x \mathrm{d}x}\right] + C \\ & \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{4} e^x \sin 2x -\frac{1}{4} \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x + C \\ & \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x + \frac{1}{4} \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{4} e^x \sin 2x + C \\ &\frac{5}{4} \int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{4} e^x \sin 2x + C \\ &\int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = \frac{4}{5} \left[ -\frac{1}{2} e^x \cos 2x + \frac{1}{4} e^x \sin 2x \right] + C \\ &\int e^x \sin 2x \: \mathrm{d}x = -\frac{2}{5} e^x \cos 2x + \frac{1}{5} e^x \sin 2x + C \end{align*}$
$\int \arcsin x \: \mathrm{d}x = \dots$

Lakukan permisalan $u = \arcsin x$ dan $\mathrm{d}v = \mathrm{d}x$

$\begin{align*} u &= \arcsin x \\ \mathrm{d}u &= \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \: \mathrm{d}x \end{align*}$

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \mathrm{d}x \\ v &= x \end{align*}$

Substitusikan ke rumus integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int \arcsin x \: \mathrm{d}x &= \arcsin x \cdot x - \int x \: \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \: \mathrm{d}x \\ &= x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$

Untuk menyelesaikan bentuk diatas, kita perlu melakukan substitusi biasa. Kita misalkan .

$\begin{align*} t &= 1-x^2 \\ \mathrm{d}t &= -2x \: \mathrm{d}x \\ x \: \mathrm{d}x &= - \frac{\mathrm{d}t}{2} \end{align*}$

Lanjutkan substitusi.

$\begin{align*} \int \arcsin x \: \mathrm{d}x &= x \arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \: \mathrm{d}x \\ &= x \arcsin x - \int - \frac{\mathrm{d}t}{2 \sqrt{t}} \\ &= x \arcsin x + \frac{1}{2} \int t^{-\frac{1}{2}} \: \mathrm{d}t \\ &= x \arcsin x + \frac{1}{2} \cdot 2 t^\frac{1}{2} + C \\ &= x \arcsin x + \sqrt{t} + C \\ &= x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C \end{align*}$
$\int x \sin x \cos x \: \mathrm{d}x = \dots$

Sesuai dengan prioritas permisalan, maka kita pilih persamaan dan $\mathrm{d}v = \sin x \cos x \: \mathrm{d}x$ .

$\begin{align*} u &= x \\ \mathrm{d}u &= \mathrm{d}x \end{align*}$

Dan

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \sin x \cos x \: \mathrm{d}x \\ \int \mathrm{d}v &= \int \sin x \cos x \: \mathrm{d}x \\ v &= \int \sin x \cos x \: \mathrm{d}x \\ v &= \int \frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x \: \mathrm{d}x \\ v &= \int \frac{1}{2} \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{2} \int \sin 2x \: \mathrm{d}x \\ v &= \frac{1}{2} \cdot -\frac{1}{2} \cos 2x \\ v &= -\frac{1}{4} \cos 2x \end{align*}$

Masukkan ke dalam rumus integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int x \: \sin x \cos x \: \mathrm{d}x &= x \cdot -\frac{1}{4} \cos 2x - \int -\frac{1}{4} \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{4}x \cos 2x + \frac{1}{4} \int \cos 2x \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{1}{4}x \cos 2x + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \sin 2x + C \\ &= -\frac{1}{4}x \cos 2x + \frac{1}{8} \sin 2x + C \end{align*}$
$\int x^3 \sin x \: \mathrm{d}x = \dots$

Misalkan  sehingga $\mathrm{d}u = 3x^2 \: \mathrm{d}x$

Lalu $\mathrm{d}v = \sin x \: \mathrm{d}x$ sehingga $v = -\cos x$ . Setelah itu masukkan ke rumus integral parsial.

$\begin{align*} \int x^3 \sin x \: \mathrm{d}x &= x^3 \cdot -\cos x - \int -\cos x \: 3x^2 \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 \int x^2 \cos x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$

Misalkan lagi untuk melakukan integral parsial pada $\int 3x^2 \cos x \: \mathrm{d}x$ . Kali ini pilihlah  sehingga $\mathrm{d}u = 2x \: \mathrm{d}x$ .

Lalu $\mathrm{d}v = \cos x \: \mathrm{d}x$ sehingga $v = \sin x$ dan masukkan kembali ke rumus integral parsial

$\begin{align*} \int x^3 \sin x \: \mathrm{d}x &= -x^3 \cos x + 3 \int x^2 \cos x \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 \left[ x^2 \cdot \sin x - \int \sin x \: 2x \: \mathrm{d}x \right] \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x - 3 \int 2x \sin x \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x - 6 \int x \sin x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$

Karena masih ada bentuk integral parsial di penyelesaian, maka misalkan sekali lagi. Kali ini  sehingga $\mathrm{d}u = \mathrm{d}x$ .

Lalu $\mathrm{d}v = \sin x \: \mathrm{d}x$ sehingga $v = -\cos x$ . /p>

Masukkan ke rumus integral parsial lagi

$\begin{align*} \int x^3 \sin x \: \mathrm{d}x &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x - 6 \int x \sin x \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x - 6 \left[x \cdot -\cos x - \int -\cos x \: \mathrm{d}x \right] \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \int cos x \: \mathrm{d}x \\ &= -x^3 \cos x + 3 x^2 \sin x + 6x \cos x - 6 \sin x + C \\ \end{align*}$
$\int \frac{\ln |x+2|}{(x+2)^2} \: \mathrm{d}x = \dots$

Misalkan $u = \ln |x+2|$ dan $\mathrm{d}v = \frac{\mathrm{d}x}{(x+2)^2}$ . Cari nilai du terlebih dahulu.

$\begin{align*} u &= \ln |x+2| \\ \mathrm{d}u &= \frac{1}{x+2} \: \mathrm{d}x \end{align*}$

Lalu cari nilai v

$\begin{align*} \mathrm{d}v &= \frac{\mathrm{d}x}{(x+2)^2} \\ \int \mathrm{d}v &= \int \frac{\mathrm{d}x}{(x+2)^2} \\ v &= \int (x+2)^{-2} \: \mathrm{d}x \\ &= -(x+2)^{-1} \\ &= -\frac{1}{x+2} \end{align*}$

Masukkan ke rumus integral parsial

$\begin{align*} \int u \: \mathrm{d}v &= u \: v - \int v \: \mathrm{d}u \\ \int \frac{\ln |x+2|}{(x+2)^2} \: \mathrm{d}x &= \ln |x+2| \cdot -\frac{1}{x+2} - \int -\frac{1}{x+2} \cdot \frac{1}{x+2} \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{\ln |x+2|}{x+2} + \int \frac{1}{(x+2)^2} \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{\ln |x+2|}{x+2} + \int (x+2)^{-2} \: \mathrm{d}x \\ &= -\frac{\ln |x+2|}{x+2} - (x+2)^{-1} + C \\ &= -\frac{\ln |x+2|}{x+2} - \frac{1}{x+2} + C \\ \end{align*}$
$\int x \: ^3\!\log{x} \: \mathrm{d}x = \dots$

$\begin{align*} \int x \: ^3\!\log{x} \: \mathrm{d}x &= \int x \: \frac{\ln x}{\ln 3} \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\ln 3} \int x \: \ln x \: \mathrm{d}x \\ \end{align*}$

Misalkan $u = \ln x$ sehingga $\mathrm{d}u = \frac{1}{x} \mathrm{d}x$ dan $\mathrm{d}v = x \: \mathrm{d}x$ sehingga $v = \frac{1}{2} x^2$ .

Lalu masukkan ke dalam rumus integral parsial

$\begin{align*} \int x \: ^3\!\log{x} \: \mathrm{d}x &= \frac{1}{\ln 3} \int x \: \ln x \: \mathrm{d}x \\ &= \frac{1}{\ln 3} \left[\ln x \cdot \frac{1}{2} x^2 - \int \frac{1}{2} x^2 \: \frac{1}{x} \mathrm{d}x \right] \\ &= \frac{1}{\ln 3} \left[\frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{2} \int x \: \mathrm{d}x \right] \\ &= \frac{1}{\ln 3} \left[\frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} x^2 + C \right] \\ &= \frac{1}{\ln 3} \left[\frac{1}{2} x^2 \ln x - \frac{1}{4} x^2 + C \right] \\ &= \frac{1}{2 \ln 3} x^2 \ln x - \frac{1}{4 \ln 3} x^2 + C \end{align*}$

stefanus ais

Senin, 20 Januari 2014

Contoh Soal Integral Parsial

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Mengenai Saya