Kumpulan Soal-Soal Diferensial

1.      Tentukan turunan pertama dari y = (3x-2)⁴+(4x-1)³ adalah . . .

Jawab:

Kita uraikan satu per satu dulu masing-masing persamaan, misalnya :

f (x) = y = (3x-2)⁴                  misal U = (3x-2)            du/dx = 3

dy/dx = n.U^n-1 . du/dx

 = 4. (3x-2)^4-1.3

 = 12 (3x-2)³

Terus berlanjut ke persamaan berikutnya :

f (x) = y = (4x-1)³              misal U = (4x-1)           du/dx = 4

dy/dx = n.U.^n-1 . du/dx

 = 3. (4x-1)^3-1. 4

 = 12 (4x-1)²

Setelah kita mengetahui hasil dari masing-masing persamaan, kemudian kita kembali gabungkan kedua persamaan tersebut :

f (x) = y = (3x-2)⁴+(4x-1)³

                          = 12 (3x-2)³ + 12 (4x-1)²

= 12      (3x-2)³ + (4x-1)²

2.      Tentukan turunan pertama dari y = 5x² + 7 adalah . . .

                                                          4x + 3

Jawab :

y = 5x² + 7, kita misalkan U = 5x²+7 maka du/dx = 10 x

      4x +  3                         V = 4x + 3 maka dv/dx = 4

= V. du/dx – U. dv/dx

                              V²

= (4x+3) (10x) – (5x² + 7) (4)

                 (4x + 3)²

= 40x² + 30x – 20x² – 28

              (4x + 3)²

= 20x² + 30x – 28

         (4x + 3)²

3.      Jika jumlah penduduk suatu daerah dalam t tahun mendatang dapat dinyatakan dalam fungsi t : f (t) = 10.000.000+11.000t-800 t² maka dapatkan laju pertumbuhan penduduk didaerah tersebut pada saat lima tahun mendatang !

Jawab :

f (t) = 10.000.000 + 11.000 t - 8.00 t²

f’ (t) = 11.000 - 8.00 t

sehingga laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah

f’  (5) = 11.000- 8.00 . (5)

 = 11.000 – 4.000

 = 7.000

Jadi laju pertambahan penduduk 5 tahun mendatang adalah 7.000 orang

4.      Jika diketahui fungsi total cost untuk memproduksi x satuan barang adalah

 TC = x³-4x²+16x+80, maka tentukan MC pada saat memproduksi 20 satuan barang !

Jawab :

TC = x³-4x²+16x+80

MC = TC^I = 3x²-8x+16

Sehingga MC untuk x = 20 adalah

MC = 3 (20)² – 8 (20) + 16

= 3 (4.00) – 8 (20) + 16

= 1.200 – 1.60 + 16

= 1.050

Satuan rupiah MC = 3 (20)² – 8 (20) + 16 = 1.050 satuan rupiah

Ini berarti pada posisi x = 20 satuan baran, akan terjadi tingkat perubahan biaya sebesar 1.050 satuan rupiah jika x berubah 1 unit.

5.      Suatu proyek akan diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek perhari adalah

y = (2x +  - 80) dalam ribuan rupiah, biaya proyek minimum dalam x hari adalah  . . .

jawab :

y = (2x +  - 80)

y (x) = (2x² + 10.000 – 80x)

biaya minimum diperoleh jika y^I (x) = 0

4x-80 = 0          x = 20

Biaya minimum adalah :

y (20) = 2 (20)2 + 10.000 – 80.20

 = 800 + 10.000 – 1.600

 = 9.200

Karena satuannya dalam ribuan, maka dikalikan 1.000 = Rp. 9.200.000,-