MATERI DIFERENSIAL (TURUNAN)

DIFERENSIAL (TURUNAN)



1. MAKSIMUM DAN MINIMUM




Definisi :

andaikan S,daerah asal f,memuat titik c. kita katakan bahwa:

(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥f(x) untuk semua x di S;

(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤f(x) untuk semua x di s;

(iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;



teorema a :

(teorema eksistensi maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.



teorema b :

(teorema titik kritis). andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:

(i) titik ujung dari I

(ii) titik stasioner dari f(f'(c) = 0);

(iii) titik singular dari f(f'(c) tidak ada);



mencari nilai ekstrim,prosedur sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.



langkah 1. carilah titik-titik kritis dari f pada I.

langkah 2. hitunglah f pada setiap titik kritis. yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.



contoh soal !

penjelasan:



1. MAKSIMUM DAN MINIMUM



Definisi :

andaikan S,daerah asal f,memuat titik c. kita katakan bahwa:

(i). f(c) adalah nilai maksimum f pada s jika f(c) ≥f(x) untuk semua x di S;

(ii). f(c) adalah nilai minimum f pada S jika f(c) ≤f(x) untuk semua x di s;

(iii). f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum;



teorema a :

(teorema eksistensi maks-min). jika f kontinu pada selang tertutup [a,b], maka f mencapai nilai maksimum dan nilai minimum.



teorema b :

(teorema titik kritis). andaikan f didefinisikan pada selang I yang memuat titik c. jika f(c) adalah titik ekstrim, maka c haruslah suatu titik kritis; yakni c berupa salah satu:

(i) titik ujung dari I

(ii) titik stasioner dari f(f'(c) = 0);

(iii) titik singular dari f(f'(c) tidak ada);



mencari nilai ekstrim,prosedur sederhana untuk menghitung nilai maksimum atau nilai minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup I.



langkah 1. carilah titik-titik kritis dari f pada I.

langkah 2. hitunglah f pada setiap titik kritis. yang terbesar adalah nilai maksimum dan yang terkecil adalah nilai minimum.





Contoh soal !

Seorang petani mempunyai 80 meter kawat berduri untuk membuat tiga kandang persegi dan di satu sisi terdapat tembok sepanjang 100 meter. Maksimumlan kawat berduri tersebut sehingga luas maksimum.

Jawab:

Sketsakan gambar tesebut, hingga didapat:

4x+y = 80

y = 80 - 4x

luas total A = x.y

maka, A = 80x – 4x²

0<>

Maka yang dimaksimumkan adalah x [0,20].

dA/dx = 80 – 8x

x = 80/8 = 10 meter

dan y = 80 – 4(10) = 40 meter



2. KEMONOTONAN DAN KECEKUNGAN.

Definisi :

Andaikan f terdefinisi pada selang I (terbuka,tertutup,atau tidak satupun). Kita katakan bahwa:

(i). f adalah naik pada I jika untuk setiap pasang bilangan x¹ dan x² dalam I,

X¹

(ii). F adalah turun pada I jika untuk setiap pasang bilangan x1 dan x2 dalam I,

X¹f(x²)

(iii).f adalah monoton murni pada I jika ia naik pada I atau turun pada I.



1. Turunan pertama dan kemonotonan.



Teorema A: (teorema kemonotonan).

Jika f kontinu pada selang I dan dapat didiferensialkan pada setiap titik dalam I:

(i). jika f’(x) > 0 untuk semua titik dalam x dari I, maka f naik pada I.

(ii). Jika f’(x) <>



2. Turunan kedua dan kecekungan.



Teorema B: (teorema kecekungan).

Jika f terdiferensial dua kali pada selang terbuka (a,b).

(i). jika f”(x) > 0 untuk semua x dalam (a,b), maka f cekung keatas pada (a,b)

(ii). Jika f”(x) <>

3. titik balik.



Definisi :

Andaikan f kontinu pada c. lita anggap (c,f(c)) suatu titik balik dari grafik f, jika f cekung keatas pada satu sisi dan cekung kebawah pada sisi lainnya dari c.