Rumus Dasar Integral Parsial
| ∫ u dv = uv − ∫v du |
Untuk lambang-lambangnya jika berbeda, silakan disesuaikan dengan literature atau buku yang adik-adik gunakan atau catatan yang diberikan Bapak Ibu Guru di sekolah masing-masing, pada prinsipnya sama saja.
Soal No. 1
Hasil dari 16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
A. 8(2x + 6) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
B. 8(2x + 6) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
C. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
D. 8(x + 3) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
E. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 sin (2x − π) + C
Pembahasan
Beberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya akan ditunjukkan di sini.
Cara Pertama
∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
|____| |__________|
u dv
Hasil dari 16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
A. 8(2x + 6) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
B. 8(2x + 6) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
C. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
D. 8(x + 3) sin (2x − π) − 4 cos (2x − π) + C
E. 8(x + 3) sin (2x − π) + 4 sin (2x − π) + C
Pembahasan
Beberapa cara biasa digunakan untuk menyelesaikan soal integral parsial, dua diantaranya akan ditunjukkan di sini.
Cara Pertama
∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
|____| |__________|
u dv
Langkah pertama, tentukan dulu mana u mana dv
Misalkan (x + 3) adalah u, dan sisanya, cos (2x − π)dx sebagai dv,
u = (x + 3) ...(Persamaan 1)
dv = cos (2x − π)dx ...(Persamaan 2)
Langkah pertama selesai, kita tengok lagi rumus dasar integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫v du
Terlihat di situ kita perlu u, perlu v dan perlu du. u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya.
Dari persamaan 1, untuk menentukan du, caranya turunkan u nya,
u = (x + 3)
du/dx = 1
du = dx
Dari persamaan 2, untuk menentukan v,
dv = cos (2x − π)dx
atau
dv/dx = cos (2x − π)
dv/dx artinya turunan dari v adalah cos (2x − π), untuk mendapatkan v, berarti kita harus integralkan cos (2x − π) jika lupa, tengok lagi cara integral fungsi trigonometri,
v = ∫ cos (2x − π) dx = 1/2 sin (2x − π) + C
Kita rangkum lagi :
u = (x + 3)
v = 1/2 sin (2x − π)
du = dx
Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi:
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx
Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16
= uv − ∫v du
= (x + 3) 1/2 sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) du
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) dx
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − 1/2 {− 1/2 cos (2x − π) }
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π)
kalikan 16, tambahkan + C nya
= 16 { 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π) } + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Cara Kedua
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
Langkah Pertama
Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut
Tempatkan x + 3 di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL. Sementara cos (2x − π) di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar dengan angka nol sebelah kiri.
Kolom pertama
x + 3 jika diturunkan hasilnya adalah 1, dan 1 jika diturunkan hasilnya adalah 0.
Kolom kedua
cos (2x − π) jika diintegralkan hasilnya adalah 1/2 sin (2x − π), kemudian 1/2 sin (2x − π) diintegralkan hasilnya adalah − 1/4 cos (2x − π)
Langkah Kedua
Kalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, dan
baris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2,
lebih mudahnya ikuti tanda panah yang diberikan gambar diatas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya.
Sehingga:
=16 {(x + 3)[1/2 sin (2x − π)] − (1)[− 1/4 cos (2x − π)]} + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara kedua saja.
Soal No. 2
Hasil dari ∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx =.....
A. 3x(3x − 1)2/3 − 3/5 (3x − 1)5/3 + C
B. 4x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
C. 9x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
D. 4x(3x − 1)2/3 − 3/5 (3x − 1)5/3 + C
E. 3x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
Pembahasan
∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx
= 6x (1/2 (3x − 1)2/3) − (6)(1/10 (3x − 1)5/3) + C
= 3x (3x − 1)2/3 − 6/10 (3x − 1)5/3 + C
Soal No. 3
Hasil dari ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx =....
A. (3x + 2) sin (3x + 2) − 3 sin (3x + 2) + C
B. (3x + 2) sin (3x + 2) + 3 sin (3x + 2) + C
C. (2 − 3x) sin (3x + 2) − 3 cos (3x + 2) + C
D. (x + 2/3) sin (3x + 2) − 1/3 cos (3x + 2) + C
E. (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C
Pembahasan
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx
= (3x + 2)1/3 sin (3x + 2) + (3) 1/9 cos (3x + 2) + C
= (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C
Soal No. 4
o∫π x cos x dx = ....
A. − 2
B. − 1
C. 0
D. 1
E. 2
Dicoba dulu, jawabannya adalah A. − 2
Pembahasan
o∫π x cos x dx
= x sin x + cos x ]oπ
= [π sin π + cos π ] − [(0 ) sin 0 + cos 0]
= −1 − 1 = − 2
Soal No. 5
∫ (3x + 1) cos (2x) dx adalah....
A. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x + C
B. 1/2 (3x + 1) sin 2x − 3/4 cos 2x + C
C. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
D. − 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
E. − 1/2 (3x + 1) sin 2x − 1/4 cos 2x + C
Kunci : 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x
Soal No. 6
Hasil dari ∫ x(x + 4)5 dx =....
A. 1/21 (3x + 26)(x + 4)6 + C
B. 1/21 (3x − 14)(x + 4)6 + C
C. 1/21 (3x − 10)(x + 4)6 + C
D. 1/21 (3x + 2)(x + 4)6 + C
E. 1/21 (3x − 2)(x + 4)6 + C
Kunci : 1/21 (3x + 2) (x + 4)6
Soal No. 7
∫ (x2 + 1) cos x dx =......
A. x2 sin x + 2x cos x + C
B. (x2 − 1) sin x + 2x cos + C
C. (x2 + 3) sin x − 2x cos x + C
D. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C
E. 2x sin x − (x2 − 1) cos x + C
Kunci jawaban : B. (x2 − 1) sin x + 2x cos + C
Soal No. 8
∫ x(x + 3)4 =.....
A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
B. 1/30 (3x − 5)(x + 3)5 + C
C. 1/30 (5x + 3)(x + 3)5 + C
D. 1/5 (x − 3)(x + 3)5 + C
E. 1/5 (3 − 5x )(x + 3)5 + C
Misalkan (x + 3) adalah u, dan sisanya, cos (2x − π)dx sebagai dv,
u = (x + 3) ...(Persamaan 1)
dv = cos (2x − π)dx ...(Persamaan 2)
Langkah pertama selesai, kita tengok lagi rumus dasar integral parsial:
∫ u dv = uv − ∫v du
Terlihat di situ kita perlu u, perlu v dan perlu du. u nya sudah ada, tinggal mencari du dan v nya.
Dari persamaan 1, untuk menentukan du, caranya turunkan u nya,
u = (x + 3)
du/dx = 1
du = dx
Dari persamaan 2, untuk menentukan v,
dv = cos (2x − π)dx
atau
dv/dx = cos (2x − π)
dv/dx artinya turunan dari v adalah cos (2x − π), untuk mendapatkan v, berarti kita harus integralkan cos (2x − π) jika lupa, tengok lagi cara integral fungsi trigonometri,
v = ∫ cos (2x − π) dx = 1/2 sin (2x − π) + C
Kita rangkum lagi :
u = (x + 3)
v = 1/2 sin (2x − π)
du = dx
Saatnya kembali ke rumus dasar, masukkan nilai-nilai yang sudah dicari tadi:
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx
Simpan dulu 16 nya, terakhir nanti hasilnya baru di kali 16
= uv − ∫v du
= (x + 3) 1/2 sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) du
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − ∫ 1/2 sin (2x − π) dx
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) − 1/2 {− 1/2 cos (2x − π) }
= 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π)
kalikan 16, tambahkan + C nya
= 16 { 1/2 (x + 3) sin (2x − π) + 1/4 cos (2x − π) } + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Cara Kedua
16 ∫ (x + 3) cos (2x − π)dx =.....
Langkah Pertama
Buat tabel dua kolom terlebih dahulu seperti berikut
Tempatkan x + 3 di kolom sebelah kiri dan turunkan berturut-turut sampai dapat NOL. Sementara cos (2x − π) di sebelahnya integralkan berturut-turut hingga terakhir sejajar dengan angka nol sebelah kiri.
Kolom pertama
x + 3 jika diturunkan hasilnya adalah 1, dan 1 jika diturunkan hasilnya adalah 0.
Kolom kedua
cos (2x − π) jika diintegralkan hasilnya adalah 1/2 sin (2x − π), kemudian 1/2 sin (2x − π) diintegralkan hasilnya adalah − 1/4 cos (2x − π)
Langkah Kedua
Kalikan baris pertama kolom 1 dengan baris kedua kolom dua, dan
baris kedua kolom 1 dengan baris ketiga kolom 2,
lebih mudahnya ikuti tanda panah yang diberikan gambar diatas, jangan lupa sertakan tanda plus atau minusnya.
Sehingga:
=16 {(x + 3)[1/2 sin (2x − π)] − (1)[− 1/4 cos (2x − π)]} + C
= 8 (x + 3) sin (2x − π) + 4 cos (2x − π) + C
Hasilnya sama dengan cara yang pertama, untuk soal-soal berikutnya akan dipakai cara kedua saja.
Soal No. 2
Hasil dari ∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx =.....
A. 3x(3x − 1)2/3 − 3/5 (3x − 1)5/3 + C
B. 4x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
C. 9x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
D. 4x(3x − 1)2/3 − 3/5 (3x − 1)5/3 + C
E. 3x(3x − 1)2/3 − 6/5 (3x − 1)5/3 + C
Pembahasan
∫ 6x(3x − 1)−1/3 dx
= 6x (1/2 (3x − 1)2/3) − (6)(1/10 (3x − 1)5/3) + C
= 3x (3x − 1)2/3 − 6/10 (3x − 1)5/3 + C
Soal No. 3
Hasil dari ∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx =....
A. (3x + 2) sin (3x + 2) − 3 sin (3x + 2) + C
B. (3x + 2) sin (3x + 2) + 3 sin (3x + 2) + C
C. (2 − 3x) sin (3x + 2) − 3 cos (3x + 2) + C
D. (x + 2/3) sin (3x + 2) − 1/3 cos (3x + 2) + C
E. (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C
Pembahasan
∫ (3x + 2) cos (3x + 2) dx
= (3x + 2)1/3 sin (3x + 2) + (3) 1/9 cos (3x + 2) + C
= (x + 2/3) sin (3x + 2) + 1/3 cos (3x + 2) + C
Soal No. 4
o∫π x cos x dx = ....
A. − 2
B. − 1
C. 0
D. 1
E. 2
Dicoba dulu, jawabannya adalah A. − 2
Pembahasan
o∫π x cos x dx
= x sin x + cos x ]oπ
= [π sin π + cos π ] − [(0 ) sin 0 + cos 0]
= −1 − 1 = − 2
Soal No. 5
∫ (3x + 1) cos (2x) dx adalah....
A. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x + C
B. 1/2 (3x + 1) sin 2x − 3/4 cos 2x + C
C. 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
D. − 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/2 cos 2x + C
E. − 1/2 (3x + 1) sin 2x − 1/4 cos 2x + C
Kunci : 1/2 (3x + 1) sin 2x + 3/4 cos 2x
Soal No. 6
Hasil dari ∫ x(x + 4)5 dx =....
A. 1/21 (3x + 26)(x + 4)6 + C
B. 1/21 (3x − 14)(x + 4)6 + C
C. 1/21 (3x − 10)(x + 4)6 + C
D. 1/21 (3x + 2)(x + 4)6 + C
E. 1/21 (3x − 2)(x + 4)6 + C
Kunci : 1/21 (3x + 2) (x + 4)6
Soal No. 7
∫ (x2 + 1) cos x dx =......
A. x2 sin x + 2x cos x + C
B. (x2 − 1) sin x + 2x cos + C
C. (x2 + 3) sin x − 2x cos x + C
D. 2x2 cos x + 2x2 sin x + C
E. 2x sin x − (x2 − 1) cos x + C
Kunci jawaban : B. (x2 − 1) sin x + 2x cos + C
Soal No. 8
∫ x(x + 3)4 =.....
A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
B. 1/30 (3x − 5)(x + 3)5 + C
C. 1/30 (5x + 3)(x + 3)5 + C
D. 1/5 (x − 3)(x + 3)5 + C
E. 1/5 (3 − 5x )(x + 3)5 + C
Kunci jawaban : A. 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
Pembahasan
∫ x(x + 3)4 =.....
∫ x(x + 3)4 =.....
Seperti contoh-contoh sebelumnya:
____________________________________
Turunkan Integralkan
x ----------------\ (+) (x + 3)4
1 -----\ (−) \--------> 1/5 (x + 3)5
0 \------------------> 1/30(x + 3)6
____________________________________
____________________________________
∫ x(x + 3)4
= x/5(x + 3)5 − 1/30(x + 3)6 + C → sampai sini sudah selesai, hanya dipilihan belum nampak, dimodif lagi.
= x/5(x + 3)5 − 1/30(x + 3)(x + 3)5 + C
=[ x/5 − 1/30(x + 3) ] (x + 3)5 + C
= [ x/5 − x/30 − 3/30] (x + 3)5 + C
= [6x/30 − x/30 − 3/30 ] (x + 3)5 + C
= (5x/30 − 3/30)(x + 3)5 + C
= 1/30 (5x − 3)(x + 3)5 + C
Read more: http://matematikastudycenter.com/kelas-12-sma/65-12-sma-integral-parsial#ixzz2qyX25btJ
Tidak ada komentar:
Posting Komentar